ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕТОДА НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ

Основные понятия и определения

В обычной теории множеств существует понятие мно­жества как совокупности элементов, обладающих определен­ным свойством или набором свойств. Мы условимся обо­значать множества строчными буквами, а их элементы— прописными. Принадлежность элемента и к множеству и принято обозначать следующим образом: иÎU

Таким образом, в обычной теории множеств  принята бинарная классификация элементов с точки зрения их при­надлежности к рассматриваемому множеству. Элемент может либо принадлежать множеству, либо не принадлежать ему, третьего не дано.

Теория нечетких множеств, основоположником которой является Л. А. Заде [1, 2], раздвинула границы понятия принадлежности элемента к множеству. Согласно этой тео­рии, элемент может принадлежать множеству не только полностью, но и частично.

В теории множеств используется понятие универсального множества. Под универсальным множеством понимают всю совокупность элементов, образующих его. Эта совокупность может быть конечной или бесконечной. Так, если при проведении технологического процесса кон­центрация реагента может принимать только пять фиксиро­ванных значений: 2, 4, 8, 16 и 32%, то их можно рассматри­вать в качестве элементов некоторого универсального мно­жества. Обозначим эти элементы буквами: u1=2, u2=4,u3=8, u4=16, u5=32. Данное универсальное множество можно представить в следующем виде: U={u1,u2,u3,u4,u5}.

В теории нечетких множеств используется следующая форма записи:

U=u1+u2+…+un = åui

Здесь знак суммирования обозначает операцию не арифме­тического суммирования, а объединения всех элементов ui (i=1, п} в одно множество U.

Если значения температуры в технологическом процессе непрерывно изменяются и лежат в диапазоне [T1,T2], то, с точки зрения теории нечетких множеств, в качестве универ­сального множества может быть принят этот диапазон тем­ператур. Очевидно, в данном случае универсальное мно­жество содержит бесконечное количество элементов.

Всякое нечеткое подмножество А универсального мно­жества U определяется функцией принадлежности  mA, кото­рая ставит в соответствие каждому элементу иÎU  число из интервала [0,1], характеризующее степень принадлеж­ности элемента и подмножеству А. Эту формулировку можно представить в виде следующей записи:

mA : U®[0,1]

Форма представления нечеткого множества А универсаль­ного множества и имеет вид: A=m1 /u1+m2/u2+…+mn /un = åmn /un. Здесь (mi   - значение степени принадлежности, т. е. число в диапазоне от 0 до 1, характеризующее принадлежность элемента  иiÎU нечеткому подмножеству А универ­сального множества U. Наклонная черта отделяет значение степени принадлежности от элемента ui, который она харак­теризует, а знак суммирования обозначает объединение эле­ментов.

Пусть, например, имеется универсальное множество U, содержащее пять элементов в виде чисел: 0, 20, 40, 60, 100. Построим на его базе нечеткое подмножество А, характери­зующееся следующими значениями степени принадлежности:

ui,            0          .20          40          60           100

      mi              1          0,8         0,5          0,2           0

 

Тогда подмножество А можно записать в следующем виде: A=1/0+0,8/20+0,5/40+0,2/60+0/100.

Рассмотрение нечеткого подмножества А как составной части некоторого универсального множества и вытекает из следующего. Как уже отмечалось, в теории обычных мно­жеств введено понятие характеристического числа (индика­тора). Используя это понятие и форму записи нечеткого мно­жества, можно представить универсальное множество U в следующем виде: U=1/и1+1/и2+ ... +1/un.

В этом выражении степень принадлежности  mi всех элемен­тов ui множеству U равна 1. На рис. 1 показаны графические изображения функций принадлежности некоторых нечетких подмножеств и универ­сального множества.

Если элемент нечеткого множества обладает только одним единственным свойством, то он характеризуется одной функ­цией принадлежности. Если же он имеет несколько свойств, то каждому из них соответствует своя отдельная функция принадлежности.

 

Операции над нечеткими множествами.

Рассмотрим основные операции, выполняемые над нечет­кими множествами [1, 4, 5].

Для множеств установлены следующие теоретико-мно­жественные отношения: отношение равенства множеств А и В . В случае нечетких множеств А и. B отношение равенства A=В имеет место тогда и только тогда, когда для любого элемента   иiÎU  имеет место mA(u)= mB(u) , т. е. отношение равенства выполняется при равенстве функций принадлеж­ности соответствующих нечетких множеств универсального множества U.

 

Объединение нечетких множеств A и В обозначается А+В (или A È В) и определяется следующим образом: С=A+В= A È В  «(mC(u) = max(mA(u) , mB(u) ).

Эта операция обозначает нахождение наибольшего числа из двух чисел mB(u)  и mA(u) при каждом фиксированном эле­менте иÎU .

В качестве примера в табл. 1 представлена реализация операции объединения нечетких подмножеств А и В универ­сального множества U.

Таблица 1. Операция объединения нечетких подмножеств

U

10

20

30

40

50

60

mA(u)

0

0.3

0.6

0.7

1.0

0.9

mB(u)

0.2

0.8

0.9

0.3

0.2

0.1

mC(u)

0.2

0.8

0.9

0.7

1.0

0.9

 

Эту операцию можно также представить в виде следующих записей:

А =0/10 + 0,3/20 + 0,6/30 + 0,8/40 + 1/50;

B = 0,2/10 + 0,8/20 + 0,9/30 + 0,3/40 + 0,2/50;

С==A + В = 0,2/10 + 0,8/20 + 0,9/30 + 0,7/40 + 1 /50.

                                    

 

                                                                                         б

Рис..2. Операция объединения нечетких подмножеств:

а — исходные функции степеней принадлежности; б — резуль­тирующая функция степени принадлежности

На рис. 2 представлена графическая реализация опера­ции объединения нечетких подмножеств Р и Q универсаль­ного множества U.

Пересечение нечетких подмножеств А и В универсального множества U определяется следующим образом: С=АÇ В «  (mC(u) = min(mA(u) , mB(u) ). Эта операция обозначает нахождение наименьшего числа из двух чисел (mA(u), mB(u) при каждом фиксированном иÎU .В качестве примера в табл. 2 представлена реализация операции пересечения нечетких подмножеств  Aи B универ­сального множества U.

Таблица 2 Операция пересечения нечетких подмножеств

U

20

40

60

80

90

100

mA(u)

0.1

0.3

0.5

0.7

0.9

1

mB(u)

0.2

0.5

1.0

0.6

0.5

0.4

mC(u)

0.1

0.3

0.5

0.6

0.5

0.4

Эту операцию можно также представить в виде следующих записей:

A =0,1/20+0,3/40+0,5/60+0,7/80+1/100;

B=0,2/20+0,5/40+1/60+0,6/80+0,4/100;

C=0,1/20+0,3/40+0,5/60+0,6/80+0,4/100.

Рис. 3. Операция пересечения нечетких подмножеств:

а — исходные функции степеней принадлежности; б — ре­зультирующая функция степени принадлежности.На рис. 3 представлена графическая реализация опера­ции пересечения нечетких подмножеств Р и Q универсаль­ного множества U.

Дополнение нечеткого подмножества А универсального множества и определяется выражением ùA « m= 1-mA(u). Оно характеризует операцию нахождения разности между единицей и значением функции принадлежности mA  для любого элемента иÎU .

В табл. 3 представлена реализация операции нахожде­ния дополнения нечеткого подмножества A универсального множества U.

Таблица .3 Операция нахождения дополнения нечеткого подмножества

U

1

 

2

3

4

5

6

mA(u)

0

0.1

0.3

0.5

0.8

1

mB(u)

1

0.9

0.7

0.5

0.2

0

Эту операцию можно представить в виде следующих за­писей:

A = 0/1 + 0,3/2 + 0,5/3 + 0,8/4 + 1 /5, ùA = 1/1 +0,7/2+0,5/3+0,2/4+0/5.

Рис.4. Операция нахождения дополнения нечеткого под­множества: а — исходная функция степени принадлеж­ности; б — результирующая функция степени принадлеж­ности.

На рис.4 представлена графическая реализация опера­ции нахождения дополнения нечеткого подмножества Q уни­версального множества U.

Рассмотрим декартово произведение нечетких подмно­жеств. Пусть заданы нечеткие подмножества А1 и А2 универ­сальных множеств U1 и U2 соответственно. Декартово про­изведение нечетких подмножеств А1 и А2 обозначается A1*А2 и понимается как нечеткое подмножество мно­жества U, которое определяется декартовым произведением

 

 

U1

1

®

0.1

®

0.1

0.1

0.1

2

®

0.7

®

0.2

0.6

0.7

3

®

1

®

0.2

0.6

1.0

4

®

0.8

®

0.2

0.6

0.8

 

­

­

­

0.2

0.6

1.0

­

­

­

1

2

3

U2

 

Рис..5. Декартово произведение не­четких подмножеств: иÎU1, иÎU2

 Функция степени принадлежности декартова про­изведения  A1*A2 определяется выражением mA1*A2(u1,u2)=min(mA1(u1) ,mA2(u2))

Множество U+U1*U2 представляет собой совокупность всех пар (ui, иj), где uiÎU1, ujÎU2.

На рис. 5 представлено декартово произведение нечет­ких подмножеств:

А 1=0,1/1+0,7/2 +1,0/3 +0,8/4;  A2= 0,2/1+0,6/2+1/3.

Результат вычислений можно записать в следующем виде:

A1*A2=0,1 (1,1) +0,1 (1,2) +0,1 (1,3) +0,2(2,1) + 0,6(2,2)+0,7 (2,3)+0,2(3,1)+0,6(3,2) + 1,0(3,3) + +0,2 (4,1)+0,6 (4,2)+0,8 (4,3).  В этом примере были использованы два универсальных мно­жества:U1= {1,2, 3,4}, U2= {1,2,3}.

Возведение в степень нечеткого подмножества А универ­сального множества U..

В случае а=2 эту операцию называют концентрированием и обозначают А=соп(А).

Рис. 6. Операции концентрирования  нечет­кого подмножества

Пусть, например, имеется нечеткое множество A=0/10+ +0,2/20+0,7/30+1/40. Применяя к нему операцию концентрирования, получим соn(A) = 0/10 + 0,04/20 + 0,49/30 + 1/40.

На рис. 6 показан результат операции концентрирования..

 Отношения между элементами множеств

Отношением R. на множестве U называется подмножество R., определенное на декартовом произведении U*U.

Если пара элементов (и\, u2)Î U*U  находится между собой в отношении  R, то это записывают в виде и\R.и2. Порядок следования элементов и\ и и2 в данной записи имеет принципиальное значение. Множество U называют областью задания отношения.

Существует несколько форм задания отношений.

Например, пусть заданы два универсальных множества U1=U2=1+2+3+4, а на декартовом произведении U1*U2 задано нечеткое отношение R в виде матрицы

 

 

 

R=

0

0.2

0.8

1

0

0.1

0.4

0.8

0

0

0

0.4

0

0

0

0.2

 

 

 

 

 

где элемент  Ri,j является значением функции принадлеж­ности для i-го значения элемента uiÎ U1  и  j-го зна­чения элемента ujÎ U2.

Максминное произведение нечетких отношений R1  и R2, которые определены на универсальном множестве U, обозна­чается R1°  R2 и задается функцией степени принадлежности a, вычисляемой следующим образом:

a=sup min( mR1(u1,z), mR2(z,u2)),

где mR1(u1,z), mR2(z,u2))—функции принадлежности нечетких отноше­ний R1 и R2 соответственно.

Например, пусть заданы два универсальных множества U1=U2= 1+2+3. На множестве U, определяемом декарто­вым произведением  U1*U2, определены нечеткие

отношения R1 и R2, матрицы которых имеют вид:

 

 

1

0.6

0.2

 

 

0

0.3

0.8

R1=

0.6

1

0.6

 

R2=

0.3

0

0.3

 

0.2

0.6

1

 

 

0.8

0.3

0

 

Операция нахождения максминного произведения фор­мально напоминает операцию умножения матриц, выполня­емую по принципу: строка умножается на столбец. Однако вместо операции умножения элементов матриц здесь выпол­няется операция нахождения минимального из этих элемен­тов. Затем выбирается наибольший (т. е. sup) среди мини­мальных элементов. Поэтому максминное произведение в на­шем примере имеет вид:

 

 

0.3

0.3

0.8

Maxmin R1°R2=

0.6

0.3

0.6

 

0.8

0.3

0.3

 

Ниже показан порядок выполнения вычислении для элементов первого столбца .

Min(1,0)=0; min(0.6,0.3)=0.3;min(0.2,0.8)=0.2    max(0,0.3,0.2)=0.3

Min(0.6,0)=0; min(1,0.3)=0.3;min(0.6,0.8)=0.6    max(0,0.3,0.6)=0.6

Min(0.2,0)=0; min(0.6,0.3)=0.3;min(1,0.8)=0.8    max(0,0.3,0.8)=0.8

Минимаксное произведение нечетких отношении R1 и R2, заданных на множестве U, являющемся декартовым произ­ведением множеств U1*U2, определяется следующей функ­цией степени принадлежности:

b=inf max(mR1(u1,z), mR2(z,u2))

Операция нахождения минимаксного произведения фор­мально напоминает операцию умножения матриц, выполня­емую по принципу: строка умножается на столбец. Однако вместо операции умножения элементов матриц здесь выпол­няется операция нахождения максимального из этих элемен­тов. Затем выбирается наименьший (т. е. inf) среди макси­мальных элементов. Поэтому минимаксное произведение в на­шем примере имеет вид:

 

0.6

0.3

0.2

Minmax R1°R2=

0.6

0.6

0.6

 

0.2

0.3

0.6

Ниже показан порядок выполнения вычислении для элементов первого столбца .

Max(1,0)=1; max(0.6,0.3)=0.6;max(0.2,0.8)=0.8    min(1,0.6,0.8)=0.6

Max(0.6,0)=0.6; max(1,0.3)=1;max(0.6,0.8)=0.8    min(0.6,1,0.8)=0.6

Max(0.2,0)=0.2; max(0.6,0.3)=0.6;max(1,0.8)=1    min(0.2,0.6,1)=0.2

Максмультипликативное произведение:

 

0.18

0.3

0.8

Maxmult R1 °R2=

0.48

0.18

0.48

 

0.8

0.3

0.18

Ниже показан порядок выполнения вычислении для элементов первого столбца .

Max(1*0,0.6*0.3,0.2*0.8)=0.18;max(0.6*0,1*0.3,0.6*0.8)=0.48; max(0.2*0,0.6*0.3,1*0.8)=0.8

Составные нечеткие термины.

С помощью нечетких множеств можно осуществлять фор­мализацию образования составных терминов, которые ха­рактеризуют качественную информацию. Рассмотрим эту операцию на конкретном примере.

Пусть заданы значения температуры, образующие уни­версальное множество

U=0+20+40+60+804-100.

Термин «низкая» (температура) определим с помощью не­четкого множества

A 1 ==1/0 + 0,9/20 + 0,6/40 + 0,2/60 + 0,1/80+0/100.

Термин «высокая» (температура) определим с помощью не­четкого множества

A2=0/0+0,1/20+0,5/40+0,8/60+0,9/80+1/100.

Наблюдения за технологическим процессом показали, что температуру в некоторый момент времени можно характе­ризовать словами: «не очень низкая и не очень высокая». Требуется построить нечеткое подмножество В, описы­ваемое составным термином «не очень низкая и не очень высокая», используя необходимые операции над подмно­жествами А1 и  A2. Решение. Применяя операцию концентрирования к подмножеству  A1, получим соn(A1)=A12=1/0+0,81/20+0,36/40+0,04/60+ +0,01/80+0/100.

Это подмножество соответствует термину «очень низкая». Теперь, применив операцию концентрирования к подмно­жеству А2, получим подмножество, соответствующее термину «очень высокая»: соn(A2)=A22=0/0+0,01/20+0,25/40+0,64/60+ +0,81/80+1/100.

С помощью операции дополнения получим подмножества ûA12 и û А22, соответствующие терминам «не очень низ­кая», «не очень высокая». Наконец, применив операцию пере­сечения, получим нечеткое подмножество, характеризуемое составным термином «не очень низкая и не очень высокая» (температура):

В= û A12 Ç û А22 = (0/0 + 0,19/20 + 0,64/40 + 0,96/60 + +0,99/80+1/100) Ç (1/0+0,99/20+0,75/40+0,36/60+ +0,19/80+0/100) =0/0+0,19/20+0,64/40+0,36/60+ +0,19/80+0/100

Результаты произведенных вычислений удобно предста­вить в виде табл. 1.7. Анализ таблицы показывает, что наибольшая степень принадлежности нечеткому подмножеству В наблюдается при 40 и 60 °С, которые лежат в середине рас­сматриваемого диапазона температур. Этот результат пол­ностью соответствует физическому смыслу решаемой задачи.

Таблица.7 Формализация нечеткого подмножества для составного термина «не очень низкая и не очень высокая температура»

Термин

Температура,С

 

0

20

40

60

80

100

«Низкая» А\

1

0,9

0,6

0,2

0.1

0

«Высокая» Лз

0

0,1

0,5

0,8

0,9

1

«Очень низкая» А\2

1

0,81

0,36

0,04

0,01

0

«Очень высокая» А^

0

0,01

0,25

0,64

0,81

1

«Не очень низкая»

0

0,19

0,64

0,96

0,99

1

«Не очень высокая»

1

0,99

0,75

0,36

0,19

0

«Не очень низкая и не очень высокая»

0

0,19

0,64

0,36

0,19

0

Отношения между элементами множеств

 

Отношением R на множестве U называется подмножество R определенное на декартовом произведении U*U  .

Если пара элементов (u1,u2)   находится между собой в отношении R ,то это записывают в виде u1 R u2..

Порядок следования элементов u1,u2   в данной записи имеет принципиальное значение.

Например

 

 

 

y1

y2

y3

R=

x1

0.9

0.1

0.2

 

x2

0.6

0.5

0.5

 

 

 

 

 

 

Здесь элемент матрицы является значением функции принадлежности соответствующего элемента.

x1-неисправность аккумулятора

x2-отработка машинного масла                     x-причина

 

y1-затруднения при запуске

y2-ухудшение цвета выхлопных газов                y-следствие

y3-недостаток мощности

Нечеткие отношения играют важную роль в формализации нечетких условных предложений, которые являются частным случаем нечетких описаний поведения ФХС.

Нечеткие условные предложения.

Состояние объекта химической технологии часто характе­ризуется высказыванием в виде условного предложения: «Если А, то В, иначе С»,

где А, В и С—нечеткие подмножества универсальных мно­жеств U, V и W соответственно. С использованием теории множеств это предложение за­писывается в следующем виде: A*B+(ù A*С).

Рассмотрим два универсальных множества U=V=1+2 +3+4+5. Пусть параметр u ÎU определен нечетким подмно­жеством  A1, а параметр vÎ V—нечетким подмножеством  A2. Будем считать, что А1 выражает термин “высокий”,А2-термин “низкий”.

А1 - высокий = 0,1/1 + 0,2/2 + 0,5/3 + 0,8/4 + 1/5; 

A2 низкий = 1/1 + 0,8/2 + 0,6/ 3 + 0,4/4 + 0,2/5.   

Тогда связь между параметрами и и v можно представить в следующем виде:

R=" Если A1,то A2 иначе A3" =(A1*A2+û A1*A3),

где A3=û A2=0/1 +0,2/2+0.4/3+0,6/4+0.8/5.

Это нечеткое подмно­жество характеризует термин «не низкий». Вычислим декар­товы произведения, входящие в рассматриваемое условное выражение ( см.рис.).

 

 

0.1

0.1

0.1

0.1

0.1

0.1

 

0.2

0.2

0.2

0.2

0.2

0.2

A1*A2 =

0.5

0.5

0.5

0.5

0.4

0.2

 

0.8

0.8

0.8

0.6

0.4

0.2

 

1

1

0.8

0.6

0.4

0.2

 

 

1

0.8

0.6

0.4

0.2

 

 

0.9

0

0.2

0.4

0.6

0.8

 

0.8

0

0.2

0.4

0.6

0.8

ùA1*A3 =

0.5

0

0.2

0.4

0.5

0.5

 

0.2

0

0.2

0.2

0.2

0.2

 

0

0

0

0

0

0

 

 

0

0.2

0.4

0.6

0.8

 

По определению объединения отношений  нечетких множеств вычислим нечет­кое отношение R:

 

0.1

0.1

0.1

0.1

0.1

 

0

0.2

0.4

0.6

0.8

 

0.1

0.2

0.4

0.6

0.8

0.2

0.2

0.2

0.2

0.2

 

0

0.2

0.4

0.6

0.8

 

0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

0.5

0.5

0.5

0.4

0.2

+

0

0.2

0.4

0.5

0.5

=

0.5

0.5

0.5

0.5

0.5

0.8

0.8

0.6

0.4

0.2

 

0

0.2

0.2

0.2

0.2

 

0.8

0.8

0.6

0.4

0.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

 

0

0

0

0

0

 

1

0.8

0.6

0.4

0.2

 

Матрица R отражает связь между параметром иÎU и па­раметром vÎ V. Если величина параметра и определена не­четким множеством А, то величина параметра v может быть оценена нечетким множеством В вида: В=А°R. Здесь символ «°» обозначает одну из операций: максминное, минимаксное или максмультипликативное произведения. Выбор конкретной операции определяется условиями решаемой за­дачи.

Пример. Пусть матрица R имеет вид:

 

 

 

y1

y2

y3

R=

x1

0.9

0.1

0.2

 

x2

0.6

0.5

0.5

 

 

 

 

 

 

Здесь элемент матрицы является значением функции принадлежности соответствующего элемента.

 

x1-неисправность аккумулятора

x2-отработка машинного масла                     x-причина

 

y1-затруднения при запуске

y2-ухудшение цвета выхлопных газов                y-следствие

y3-недостаток мощности

 

Подъехал автомобиль Нечёткое множество  (следствие) состояние автомобиля             B=0.9/y1+0.1/y2+0.2/y3.

Нечёткое множество ( причина) неисправности автомобиля             А=?

 

B=AR

 

 

 

0.9

0.1

0.2

[0.9,0.1,0.2]

=

[a1,a2]

0.6

0.5