Постановка задачи многокритериальной  оптимизации

 

В более сложных ситуациях приходится иметь дело не с одной, а сразу с несколькими  целевыми функциями.

Так будет, например, когда какое-то явление, объект или процесс рассматривается с различных точек зрения и для формализации каждой точки зрения используется соответствующая функция. Если явление рассматривается в динамике, поэтапно и для оценки каждого этапа приходится вводить отдельную функцию, - в этом случае также приходится учитывать несколько функциональных показателей.

          Нижеследующее рассмотрение посвящено ситуации, когда имеется несколько числовых функций , ³, определенных на множестве .

В зависимости от содержания задачи выбора эти функции называют критериями оптимальности, критериями эффективности, целевыми функциями, показателями или критериями качества.

          Проиллюстрируем введенные термины, рассмотрев задачу выбора наилучшего проектного решения. В этой задаче множество  состоит из нескольких конкурсных проектов (например, строительства нового предприятия), а критериями оптимальности могут служить стоимость реализации проекта  и величина прибыли , которую обеспечит данное проектное решение (т.е. построенное предприятие). Если ограничить рассмотрение данной задачи лишь одним критерием оптимальности, практическая значимость решения такой задачи окажется незначительной. В самом деле, при использовании только первого критерия будет выбран самый дешевый проект, но его реализация может привести к недопустимо малой прибыли. С другой стороны, на строительство самого прибыльного проекта, выбранного на основе второго критерия оптимальности, может просто не хватить имеющихся средств. Поэтому в данной задаче необходимо учитывать оба указанных критерия одновременно. Если же дополнительно стараться минимизировать нежелательные экологические последствия строительства и функционирования предприятия, то к двум указанным следует добавить еще один – третий критерий и т.д. Что касается ЛПР, осуществляющего выбор проекта, то в данной задаче таковым является глава администрации района, на территории которого будет построено предприятие, при условии, что это предприятие является государственным. Если же предприятие – частное, то в качестве ЛПР выступает глава соответствующей фирмы.

          Указанные выше числовые функции (они могут быть названы частными критериями оптимизации)  образуют векторный критерий 

               (1)

который принимает значения в -мерном арифметическом пространстве .

Это пространство называют критериальным пространством или пространством оценок, а значение  векторного критерия  при определенном  именуют векторной оценкой возможного решения . Все векторные оценки образуют в пространстве  множество возможных оценок.

*  Задачу выбора, содержащую множество возможных решений  и векторный критерий , обычно называют многокритериальной задачей.

*  Изучению свойств таких задач посвящена многочисленная литература (см., например, [1]).

          Предположим, что данные компоненты задачи выбора сформированы, четко описаны и зафиксированы. Опыт показывает, что в терминах критерия  чаще всего не удается выразить всю гамму «пристрастий», «вкусов» и предпочтений данного ЛПР.

С помощью векторного критерия лишь намечаются определенные цели, которые нередко оказываются весьма противоречивыми.

Эти цели одновременно, как правило, достигнуты быть не могут, и поэтому речь может идти о компромиссном решении.

            Задачу векторной оптимизации  сформулируем следующим образом: найти

-         минимум целевых функций ,

-         максимум целевых  функций

по поисковым переменным   при наличии ограничений:

- на поисковые переменные:

 , l=1(1)L;     L-число поисковых переменных.

- на поисковые переменные  в виде функциональных неравенств :    ,   j=1(1)J;     J- число функциональных неравенств.

- на поисковые переменные в виде функциональных равенств :                   

,   i=1(1)I.  I-  число функциональных равенств.

Для сравнения критериев ,имеющих разный физический смысл (и естественно разные размерности),проведем нормализацию критериев в следующем виде:

для  целевых функций ,

,  i=1,……..m,

для  целевых  функций

    i=m+1,…,M.

Эти функции  сглаживают поверхность значений R и являются монотонными. Кроме того ,значения ,что обеспечивает инвариантность к масштабу изменения критериев.

Это обстоятельство позволяет сформулировать задачу многокритериальной оптимизации в следующем виде:

Найти минимум целевых функций

по поисковым переменным    при наличии ограничений:

- на поисковые переменные:

 , l=1(1)L;     L-число поисковых переменных.

- на поисковые переменные  в виде функциональных неравенств :    ,   j=1(1)J;     J- число функциональных неравенств.

- на поисковые переменные в виде функциональных равенств :                   

,   i=1(1)I.  I-  число функциональных равенств.

(Вильфредо Парето (1848-1923) – итальянский социолог и экономист)