Чувствительность ХТС

 

  Пусть элемент ХТС описывается уравнением  у = F (х, и, р)

Под чувствительностью выходной переменной   относительно параметра  будем понимать величину: . Аналогично определяется  чувствительность выходной переменной относительно изменений входных и управляющих переменных         

            В практике расчетов находят применение нормированные чувствительности

      

Эти величины безразмерны и с их помощью можно сопоставлять и оценивать влияние различных параметров и управлений на выходные величины элементов ХТС и на критерий оптимизации в любой точке поиска.

 

Пример. Оптимизация системы теплообмена.

В трёх теплообменных аппаратах осуществляется процесс нагрева основного потока  от 1000 C до 5000 C тремя вспомогательными с заданными входными температурами. Известны коэффициенты теплопередачи :

K1=120 ,           K2= 80                   K3=40

Необходимо подобрать площади поверхностей теплообмена, чтобы критерий оптимизации  F1+F2+F3  ,был минимальным.

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Неизвестных     20   Уравнений  13 Регламентированные переменные  5

Поисковых переменных - 2

Решение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Пример.  Определить чувствительность критерия оптимизации к выходной температуре.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


=4.95

 

 

 

 

Оптимизация ХТС с использованием методов теории чувствительности

 

Необходимость учета параметрической чувствительности при решении задач оптимизации обусловлена различными причинами.

Во-первых, часто оптимальный режим находится в области высокой параметри­ческой чувствительности. Это может привести к тому, что неизбежные небольшие флуктуации некоторых параметров существенно нарушат нормальное течение техно­логического процесса. В этом случае целесообразно находить такой оптимальный режим, при котором учитывается чувствительность критерия оптимальности.

Во-вторых, при оптимизации ХТС приходится использовать математические модели элементов ХТС, в которые входят параметры, найденные с определенной сте­пенью точности.

Кроме того, параметры моделей с течением времени могут изме­няться под влиянием изменений характеристик объектов, которые они отражают. Например, с течением времени падает активность катализатора вследствие его ста­рения; с увеличением длительности эксплуатации теплообменника возрастает терми­ческое сопротивление тепловому потоку. Если оптимальный технологический режим лежит в области высокой параметрической чувствительности, то вследствие неточ­ности коэффициентов модели истинный оптимальный режим может не совпадать с расчетным.

В таких случаях приходится идти на компромисс между оптимальностью и чув­ствительностью. Управления выбираются так, чтобы критерий оптимальности не достигал экстремального значения, но зато был менее чувствительным к некоторым переменным. Фактически здесь приходится решать задачу полиоптимизации .

 

Модификация критерия оптимизации с учетом ограничения на чувствительность .

 

Пусть первоначальный критерий  оптимизации имеет вид: Z(x, и, р)    и необходимо найти минимум .   

Если необходимо учесть  чувствительность критерия к различным переменным , то критерий оптимизации  можно представить в следующем модифицированном  виде:  

  

где ll — весовые коэффициенты, . Задача оптимизации  найти min Z*  .

Можно также решать задачу оптимизации с критерием  Z(x, и, р)   с учётом  ограничений на чувствительность  в виде:

                 .

 

Иерархическая оптимизация.

 

В соответствии со стратегией иерархической оптимизации сначала решается основная задача оптимизации о нахождении min Z (x, и, р)    без учёта чувcтвительности, получают оптимальное значение вектора управляющих воздействий u1*. Затем решается задача: . При этом . 

Находят u2*.

На втором этапе оптимизации необходимо выполнение одного из двух ограничений:

1.      Требуется, чтобы значение функции цели при u= u2* не превышало Z (x, u1*, р) более, чем на

e,  т.е.   

2.Необходимо, чтобы  значения отлича­лись друг от друга не более, чем на e.

 

Оптимизация с учетом неопределенности

 

При проектировании химико-технологических процессов (ХТП) и интенсификации действующих производств должны быть удовлетворены следующие требования:

·        ХТП должен работать без аварийных ситуаций. Например, температура в трубках каталитического реактора должна быть ниже заданной величины, концентрации веществ должны удовлетворять требованиям взрывобезопасности и др.

·        Должны быть выполнены технологические требования на производительность процесса, качество продукции и др.

·        ХТП  не  должен  наносить  вред  окружающей  среде (экологические ограничения). Например, выход вредных побочных продуктов не должен превышать некоторых предельно допустимых норм.

Могут существовать и другие требования. Все эти ограничения характеризуют   работоспособность   ХТП.   Решение   задач проектирования,  интенсификации уже действующего  ХТП существенно усложняется частичной неопределенностью исходной физико-химической, технической и экономической информацией.

Источниками неопределенности могут быть:

Исходная неточность коэффициентов в математических моделях (констант скоростей реакций, коэффициентов межфазного обмена, коэффициентов массо- и теплопереноса и т.д.). В некоторых случаях не все переменные, входящие в  математическое описания системы могут быть заданы точно.

·        Изменение некоторых коэффициентов в математической модели во время эксплуатации ХТП (например, коэффициента активности катализатора, тепло- и массообмена др.).

·         Изменение внешних условий функционирования ХТП (так, могут   изменяться   характеристики   внешних   потоков, температура, состав, расход и т.д.).

·        Изменение экономических условий функционирования ХТП.

Отсюда, очень важно учитывать существование неопределенности информации в задачах анализа и оптимизации ХТП. Настоящий раздел посвящён  алгоритмам решения этих задач.

 

Минимизация математического ожидания функции цели

 

Параметр р рассматривается здесь как стохастический, колеб­лющийся около известного среднего значения р  по этой причине данная стратегия названа «оптимистической».

Задача может быть сформулирована следующим образом:

Найти min M при M

 

Пример.  Тепловая подсистема. Предположим, что  значение расхода входного потока колеблется около 100000. Результаты решения задачи приведено в таблице:

 

 

W

Найденное значение критерия

100000

7029

100100

7062

100200

7075

99900

7036

99800

7023

 

35225./5=7045

 

Стратегия минимакса

 

Можно использовать стратегию минимакса:  .Это значит, что вместо функции цели необходимо минимизиро­вать ее максимальное значение в области изменения параметров Р.

Таким образом, сначала определяется максимум функции цели в области Р. При этом убеждаются, что в этой области не существует никакого большего значения ее. Затем находят такие значения управляющих переменных, при которых максимум функции цели принимает наименьшее значение в области допустимых решений.

Стратегию минимакса называют «пессимистической», так как при этом подходе к решению задачи всегда исходят из такой комби­нации параметров, которая максимально ухудшает значение функ­ции цели.

Пример. Для теплообменной системы сначала решаем задачу нахождения максимума в области изменения коэффициентов теплопередачи. Находим K1=110,K2=70,K3=30.

При этом максимальное значение критерия составляет 8097.

Затем решаем задачу поиска минимума критерия оптимизации в области поисковых переменных. При этом минимальное значение критерия составляет 8072.

 

Оптимизация с дискретизацией параметров модели.

 

Диапа­зон изменения каждого из п неопределенных параметров можно  разделить на m интервалов. При таком подходе предполагается, что в реальной системе возможны реализации сочетаний всех неопределенных параметров. Если диапазон изменения каждого из п таких параметров разбит на m интервалов, то общее число комбинаций интервалов равно тп.

Исходная задача оптимизации решается тп раз. Наиболее «надежное»  зна­чение функции цели Z*   соответствует максимальное из минимальных.

Пример. Рассмотрим тепловуя подсистему. Предположим, что значения коэффициентов теплопередачи принимают дискретные значения:

 

 

K1

K2

K3

Основной уровень

120

80

40

Нижний уровень

100

60

20

Верхний уровень

140

100

60

Рассмотрим решение задачи оптимизации при следующих возможных комбинациях параметров.

 

K1

K2

K3

Решение задачи оптимизации

1

140

100

60

4967

2

100

100

60

5080

3

140

60

60

5414

4

100

60

60

5591

5

140

100

40

6665

6

100

100

40

6828

7

140

60

40

7321

8*

100

60

40

7555

9**

120

80

40

7049

 

 

Определение оптимальных коэффициентов запаса

 

с помощью теории чувствительности

 

При проектировании химических производств конструктивные и другие параметры систем берутся с некоторыми коэффициентами за­паса. Это необходимо для обеспечения работоспособности систем при возможных изменениях характеризующих их параметров. Однако для эффективного проектирования требуются обоснования коэффи­циентов запаса. Эта проблема особенно актуальна при создании агрегатов большой единичной мощности.

Предполагается, что пределы изменения параметров модели из­вестны. Если параметр р отклоняется от своего номинального зна­чения на Dр, то возникают соответствующие отклонения выход­ных переменных и функции цели Z.

Задача теперь состоит в том, чтобы минимизировать значение функции цели с помощью поиска новых значений управляющих переменных.

При этом должны быть выполнены следующие условия:

при изменении параметра р значения выходных переменных не должны выходить за пределы заданной области.

Взвешенная сумма отклонений  управляющих переменных от исходных оптимальных значений должна быть возможно меньшей.

 

Надёжность решения задач оптимизации существенно за­висит от точности идентификации параметров математической модели оптимизируемого объекта. С этой точки зрения пред­ставляет интерес использование функций чувствительности.

Покажем это на примере .

Рассмотрим следующую математическую модель:

где у(х, а)—выходная переменная рассматриваемой систе­мы;

х—управляемая переменная;

 а—параметр модели.

Пусть  обозначает номинальное значение параметра a, который может быть определен для системы с помощью не­которой процедуры идентификации. Это значение использу­ется в процессе оптимизации. Будем считать, что критерием оптимальности является

т. е.    

Пусть номинальное значение параметра = 2, тогда 

Введем в рассмотрение функцию чувствительности 

Очевидно, желательно иметь минимальное влияние этой функции на результаты оптимизации.

 Объединение проблем «оптимальности» и «чувстви­тельности» может быть представлено в виде задачи вектор­ной оптимизации следующим, образом:   

Будем считать, что ограничения на переменную х не на­кладываются.

Подставляя выражения для частных критериев оптималь­ности, получим           

                 

Эта задача многоцелевой оптимизации может быть ре­шена, например, с помощью метода, описанного ранее в разделе  многоцелевая оптимизация.

Представим задачу в следующем виде:

 найти min (2x2—2x—4)  c учетом ограничения .

Запишем соответствующую функцию Лагранжа

С помощью метода неопределенных множителей Лагран­жа находим

Результаты решения задачи приведены в таблице.

Таблица

х

l

0,50

—4,50

25,00

0,00

0.00

—4,00

16,00

0,13

—0,20

—3,52

12,96

0,19

—0,50

—2,50

9,00

0,33

—1,00

0,00

4,00

0,75

—1,50

3,50

1,00

2,00

—1,60

4,32

0,64

2,63

—1,75

5,63

0,25

4,50

—1,80

6,08

016

5,75

—1,90

7,02

0,04

12,00

 

На рис.  показано неулучшаемое множество решений данной задачи в пространстве критериев и

Рис.  Множество компромиссных решении в про­странстве критериев оптимальности

Пусть х* и  обозначают значения управляемых переменных, которые минимизируют .функции и  со­ответственно:

 

Дифференцируя функции и   по х ,и приравни­вая полученные выражения к нулю, получим х*=0,5, = - 2. Значения функцийи    вычисленные при и    показаны на рис. 7.

На рис. 8 представлены и   как функции параметра а. Они имеют следующие аналитические выраже­ния: ,

 

 

Рис. 8. Критерии   и    как функции параметра  а

 

Заметим, что при номинальном значении параметра = 2 функция быстро убывает со ско­ростью, равной —5, поскольку     .

В той же точке функция  достигает максимума и имеет скорость изменения

 

 

На рис. 9 показаны изменения значений функций и , которые происходят под влиянием изменения па­раметра на   D a =-0,5 в окрестности номинального значения a=2. Вычисления показывают, что = - 4.5; = - 2,25

Рис. 9. Изменения fi(x*, а) и fi(x, а) под влия­нием изменения параметра д

 

Таким образом  при изменении значения a на 25% значение  изменилось на 50%.

 Аналогично для другой функции имеем =8 , при изменении значения a на 25% значение =7,75.

Таким образом  при изменении значения a на 25% значение  изменилось на 3%.Аналогично можно оценить стабильность решения относительно параметра а в любой точке множества     .