МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ХТС.

 


 ХТС  включает следующие понятия.

Топология ХТС:

·        А   - набор элементов ХТС (аппаратов)  с их математическим описанием.

В математическое описание входят параметры математического описания, которые определяются  по экспериментальным данным.

·        S   -  связь между элементами ХТС.

Параметры потоков ХТС:

·        V  -  вектор параметров входных потоков.

·        X   - вектор параметров промежуточных потоков.

·        Y   - вектор   параметров выходных потоков.

Управление ХТС:

·        U   - вектор управляющих воздействий.

Цель функционирования ХТС:

·        R   -  критерий эффективности функционирования ХТС.

Для рассматриваемой ХТС: A=(Набор аппаратов: смеситель потоков, химический реактор, два испарителя, распределитель потоков, ректификационная колонна и их математическое описание). Заданы вещества ,функционирующие в системе. Каждый поток характеризуется 3+2=5 параметрами. Заданы параметры, характеризующие работу каждого элемента и  связи между элементами.

Для смесителя потоков : давление в смесителе.

Для реактора( модель Гиббса) :вещества, принимающие участие в химическом превращении, давление и температура.

Для распределителя потока : коэффициенты деления потока на части.

Для испарителя: температура и давление .

Для ректификационной колонны: расход дистиллята ,число теоретических тарелок, номер тарелки питания, давление в колонне, флегмовое число.

V=(параметры входных потоков этилена, хлористого водорода, этана).

Промежуточные потоки:16,23,24,17,21,18,19,20.

Выходные потоки:44,C2H5CL.

Управляющие воздействия :давление и температура в реакторе, флегмовое число в колонне .

Цель функционирования получение хлористого этила.

Математическое описание ХТС  может быть представлено в двух видах:

·        Модульная форма (модульное математическое описание(ММО)), когда задаются математические описания  отдельных элементов и структура системы.

В этом случае математическое описание ХТС состоит из системы уравнений для элементов, уравнений связи между элементами.

ММО    1 элемента

ММО    2 элемента

……………………

ММО     элемента i

Уравнения связей между элементами.

 

·        Интегральная форма (интегральное математическое описание(ИМО)), когда оно представляется в виде системы уравнений с учетом структуры.

ИМО    1 элемента

ИМО    2 элемента

……………………

ИМО     элемента i

 

Различие между этими двумя формами записи уравнений МО состоит в том, что  во-первых в интегральной форме нет уравнений связи, а во вторых, в отличие от модульной формы ,где любое ММО рассматривается как единое целое ,здесь уравнения могут рассматриваться по отдельности.

Формализация основных  задач разработки ХТС.

     1. Анализ ХТС (поверочный расчет).

     Дано: V, U, A, S              Найти:  X, Y, R

    Анализ осуществляется для выявления ресурсов повышения    эффективности и повышения путей их реализации.

      Направления  повышения    эффективности:  

   - за счет оптимального управления

   - за счет интенсификации процессов в аппаратах

-         за счет реконструкции ХТС

     2.  Синтез ХТС.

Синтез управления.   Дано: V, Y,S, А            Найти: Х, U,R.

Пример.

Синтез оптимальной  ХТС.   Дано: X,V, Y            Найти: А,S, U,R

  При этом   ищется экстремальное значение  R

 

Понятие о расчёте статических режимов разомкнутых ХТС.

 


Для представленной  ХТС надо проанализировать статический режим  работы.

При этом задано следующее :

·        Топология  -   4 аппарата химической технологии с известным математическим описанием в интегральном виде:

№№  элемента

Уравнение математического описания

Выходные переменные

1

x1=F1(v1,u1)                 x2=F2(v1,u1)

x1,x2

2

x4=F3(x2,x3)                 y1=F4(x2,x3)

x4,y1

3

x3=F5(v2,x1)                 x5=F6(v2,x1)

x3,x5

4

y2= F7(x4,x5,u2)

y2

 

Параметры потоков ХТС:

·        V  -  вектор параметров входных потоков. V=(v1,v2).

·        X   - вектор параметров промежуточных потоков. X=(x1,x2,x3,x4,x5)

·        Y   - вектор   параметров выходных потоков. Y=(y1,y2)

Управление ХТС:

·        U   - вектор управляющих воздействий.U=(u1,u2)

Цель функционирования ХТС:

·        R   -  критерий эффективности функционирования ХТС.

Как было показано ранее, задача анализа ХТС  заключается в нахождении следующих  переменных: X=(x1,x2,x3,x4,x5), Y=(y1,y2), R.

Структуру уравнений математического описания представим в  виде таблицы,

Уравнения

Неизвестные

x1

x2

x3

x4

x5

y1

y2

F1

1

 

 

 

 

 

 

F2

 

1

 

 

 

 

 

F3

 

1

1

1

 

 

 

F4

 

1

1

 

 

1

 

F5

1

 

1

 

 

 

 

F6

1

 

 

 

1

 

 

F7

 

 

 

1

1

 

1

Уравнения

Неизвестные

x1

x2

x3

x4

x5

y1

y2

 

где стро­ки будут соответствовать номеру уравнения, а столбцы - переменным, входящим в эти уравнения. Факт принадлежности переменной уравнению отметим  1. Так как значения переменной v1,u1 нам заданы, то уравнение (1) можно решить относительно величины x1.Этот факт отметим так: (F1,x1). Таким образом, первым решается уравнение (1) и определяется первая переменная x1. Поскольку теперь нам значение этой переменной известно, а уравнение (1) не содержит других переменных, то можно исключить из рассмотрения 1 столбец и 1 строку рассматриваемой таблицы. Мысленно удалив эту строку и этот столбец, продолжаем наши рассуждения дальше. Переменная x2 содержится во 2 уравнении и может быть определена решением этого уравнения. Таким образом, вторым решается 2 уравнение, отметим это: (F2,x2) . Вычеркивая соответст­вующие строки и столбцы, продолжаем аналогичные действия дальше, определяя порядок решения уравнений математического описания ХТС и порядок опреде­ления переменных в виде для ИМО:

(F1,x1),(F2,x2),(F5,x3),(F3,x4),(F4,y1),(F6,x5),(F7,y2).

С учётом выходных переменных для каждого элемента можно указать последовательность вычисления элементов этой ХТС при  ММО в следующем виде: 1,3,2,4.

Эта последовательность называется вычислительной последовательностью  элементов данной разомкнутой ХТС.

Понятие о расчёте статических режимов замкнутых ХТС.

Рассмотрим  решение задачи анализа замкнутой ХТС, представленной на рис.


При этом задано следующее :

·        Топология  -   4 аппарата химической технологии с известным математическим описанием в интегральном виде:

 

Элемент 1

x1=F1(v1,u1,x2,x4)

Элемент 2

x2=F2(x1)

y1=F3(x1)

x3=F4(x1)

Элемент 3

x5=F5 (v2,x3,x6)

x4=F6(v2,x3,x6)

Элемент 4

x6=F7(x5,u2)

y2= F8(x5,u2)

 

 

Параметры потоков ХТС:

·        V  -  вектор параметров входных потоков. V=(v1,v2).

·        X   - вектор параметров промежуточных потоков. X=(x1,x2,x3,x4,x5,x6)

·        Y   - вектор   параметров выходных потоков. Y=(y1,y2)

Управление ХТС:

·        U   - вектор управляющих воздействий.U=(u1,u2)

Цель функционирования ХТС:

·        R   -  критерий эффективности функционирования ХТС.

Как было показано ранее, задача анализа ХТС  заключается в нахождении следующих  переменных: X=(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7), Y=(y1,y2), R.

Математическое описание данной ХТС  состоит из 8 уравнений с 8  неизвестными. Следует иметь ввиду, что для реальных ХТС  таких уравнений может быть до 2000-3000. Для решения этой задачи  существует два способа:

1. При небольшом количестве уравнений  решать  их совместно. В последнее время при расчёте системы уравнений используется их структура. При этом решение существенно упрощается.

2. Декомпозиционный метод  - предполагает разбиение одной сложной задачи на подзадачи. Этот метод является наиболее хорошо разработанным и широко используется в современных программных продуктах. Рассмотрим его более подробно.

Основная задача разбивается на следующие подзадачи:

1. Превращение замкнутой системы в разомкнутую. Для этого замкнутая ХТС путём мысленного разрыва некоторых потоков превращается в разомкнутую. В результате на местах таких разрывов  образуется по 2 потока.

            2. Определение порядка расчёта элементов  для полученной разомкнутой системы.

            3. Собственно поэлементной расчёт элементов схемы.

4. Обеспечение равенства полученных потоков.  Для этого на  местах разрыва прихо­дится решать дополнительные уравнения. Их количество равно суммарной  параметричности разрываемых потоков.

 В общем случае их число равно  m*(k+2),

где m- число разрываемых потоков для превращения замкнутой системы в разомкнутую,

k- число веществ, функционирующих в потоках.

Это является своеобразной платой за последовательный расчёт элементов схемы.

В общем случае существует несколько вариантов превращения замкнутой системы в разомкнутую. Предпочтение отдают варианту, для которого на местах разрыва нужно решать меньшее число уравнений.

Пример.


 

На рис. представлена некоторая схема и три варианта превращения этой ХТС в разомкнутую. Предположим, что k=4 и пусть математическое описание каждого элемента состоит из  4 уравнений. Тогда интегральный подход состоит в решении системы из 6*4=24 уравнений. Модульный подход предполагает 6 раз последовательно решать только 4 уравнения. Однако, за это необходимо решать на местах разрывов дополнительно уравнения. При этом  два из трёх вариантов  связаны с дополнительным решением  на  2 -х местах разрывов 2*(4+2)=12 уравнений. В то время, как последний вариант предполагает дополнительное решение 1*(2+4)=6 уравнений. Принято, что решение 6 уравнений проще, чем 12 и поэтому предпочтение отдается именно этому варианту разрыва.