Структурный анализ замкнутых ХТС.

 

Представление структуры ХТС в виде графа. Основные понятия.

Структуру ХТС обычно, рассматривают в терминах теории графов: ХТС представляют в виде ориентированного графа, вершины которого соответ­ствуют аппаратам, а дуги - потокам (рис.2).

Рис. 1.  Ориентированный граф

 

Последовательность сцепленных дуг, позволяющая пройти из одной вер­шины в другую, называется путем. Так, на рассматриваемом графе путем из вершины 1 в вершину 4 будет последовательность дуг 1-2, 2-3, 3-4. Путь также можно изобразить последовательностью вершин, которая их содержит, напри­мер, путь 1,2,3,4,3 или  путь 1, 2, 3, 4, 5. Длиной пути называется число дуг на пути. На­пример, путь из вершины 1 в вершину 7 имеет длину, равную 6.

Путь, начальная вершина которого совпадает с конечной, причем каждая вер­шина, за исключением начальной, проходится один раз, называется контуром. В рассматриваемом графе можно выделить следующие контуры:

(2, 3,4, 2), (3,4,3), (6, 7.6).

Контуры графа, имеющие хотя бы одну общую вершину, называются связан-ными. Система связанных контуров графа образует комплекс. Для любых двух вершин, входящих в комплекс, существует соединяющий их путь. Так, контуры ( 2, 3, 4, 2 ) и ( 3. 4, 3 ) являются' связанными, так как они имеют, по крайней мере, одну общую вершину, например, вершину 3 (или вершину 4), поэтому вершины 2, 3, 4 образуют комплекс Легко убедиться, что для любых двух вершин этого комплекса существует соединяющий их путь. Например, возьмем две вершины 2 и 4. Из вершины 2 в вершину 4 ведет путь 2.-3,3-4,а из вершины 4 в вершину 2 -путь 4-2. Комплекс соответствует элементам, которые могут быть рассчитаны толь­ко совместно.

Способы представления структуры ХТС.

 

Каждой ХТС можно поставить в соответствие потоковый граф, соответствующий  рассматриваемой системе . Потоковые графы строят для установившегося технологического режима ХТС. Потоковый граф с множеством вершин А, образованным совокупностью элементов, источников и стоков ХТС, и с множеством дуг Т, элементы которого соответствуют одного типа обобщенным или физическим потокам системы..

Выделим три типа потоковых графов ХТС: материальные, тепло­вые (энергетические) и параметрические.

Материальные потоковые графы (МПГ). Эти графы подразделим на графы по общему массовому расходу физических потоков и графы по массовому расходу некоторого химического компонента (химиче­ского элемента).

Вершины материального потокового гра­фа по общему массовому расходу физиче­ских потоков (МПГО) соответствуют элементам ХТС, кото­рые трансформируют общие массовые расходы физических потоков, источникам и стокам веществ физических потоков. Дуги этого графа отвечают обобщенным материальным потокам .

Вершины материального потокового графа по массовому расходу некоторого химиче­ского компонента соответствуют элементам ХТС, транс­формирующим массовые расходы химического компонента, внешним и внутренним источникам, а также стокам этого компонента в сис­теме.

Тепловые потоковые графы (ТПГ). Вершины теплового потокового графа соответствуют элементам системы, которые изменяют расходы тепла физических потоков, внешним и внутренним источникам и стокам тепла ХТС.

Отметим основные характерные особенности материальных пото­ковых графов по общему массовому расходу физических потоков и тепловых потоковых графов ХТС:

1. Ориентированность, так как движение потоков веществ и энергии в системе происходит в строго определенном направлении.

2. Асимметричность, потому что не все соседние эле­менты системы связаны между собой обратными технологическими потоками.

3. Связность, так как все элементы в системе взаимосвя­заны единой цепью потоков веществ или энергии.

Для удобства введём в граф  ХТС, вершину 0. Будем считать, что эта вершина соответствует   материальным и/ или энергетическим источникам и стокам .Структуру графа можно представить в виде квадратной матрицы связей, имеющей N+1 строк и N+1 столбцов.

.

Рис.1 Граф с нулевой вершиной.

 

 

Элементы матрицы  А определяются следующим образом:

 

 

 

1,если существует дуга I,J

a(I,J)

=

 

 

 

0, если не существует дуга I,J и если I=J

 

I=1,2,…N+1,        J=1,2,……N+1. Здесь N -число элементов в ХТС.

 

Для представленной на рис. ХТС матрица связей имеет вид:

 

 

 

 

A=

 

0

1

2

3

4

0

0

1

1

0

0

1

0

0

1

0

0

2

0

0

0

1

0

3

1

0

1

0

1

4

1

1

0

0

0

 

Существует способ представления структуры графа в виде двух таблиц связей. При этом в левом столбце этих таблиц указаны номера вершин графа, а в правом в таблице B указываются номера  вершин, куда поступает соответствующий поток, а в правом в таблице C  указываются номера вершин, из которых поступают в данную вершину соответствующие потоки. Для рассматриваемого примера имеем:

 

B-таблица связей

 

C -таблица связей

0

1,2

 

0

3,4

1

2

 

1

0,4

2

3

 

2

0,1,3

3

0,2,4

 

3

2

4

0,1

 

4

3

 

 

Основные задачи структурного анализа разомкнутых ХТС.

 

Основная задача- определить порядок расчёта элементов ХТС. Рассмотрим решение этой задачи с помощью алгоритма ,основанного на представлении структуры ХТС с помощью  B- таблицы  связей.

 

 

 

 

АЛГОРИТМ НАХОЖДЕНИЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

 РАЗОМКНУТОЙ СИСТЕМЫ

В основе алгоритма нахождения вычислительной последовательности разомкнутой системы (ВПРС)  лежит следующее правило: элемент может быть включен в состав ВПРС, если известны все входящие в него потоки. Рассмотрим алгоритм определения ВПРС  на основе C-таблицы связей. .

В основе алгоритма лежат следующие операции:

1. Отыскивается I-я строка C-таблицы, связей, для которой C (I) = 0;

2. Номер этой строки заносится в ВПРС;

3. Уменьшается на единицу число неизвестных входов для элементов, в которые  поступает поток из I-го элемента;

4. Если число элементов, включенных в ВПРС, равно N то работа заканчиваете иначе операции продолжаются с п. 1.

В результате работы алгоритма получаем множество вершин образующих ВПРС.

В таблице представлена последовательность преобразования C-таблицы связей в соответствии с рассматриваемым алгоритмом для ХТС, изображенной на рис. .

 

Рис.

Таблица . Последовательность преобразования С-таблицы  связей

 при формировании ВПРС

Вершина

графа

 

Отрицтелно

инцидентые

вершны

Число неизвестных входов в элемент на k- ом

шаге работы алгоритма.

 

 

0

1

2

3

4

5

6

7

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

2

5

1

1

1

0

0

0

0

0

3

2

1

1

1

1

0

0

0

0

4

0, 1

1

0

0

0

0

0

0

0

5

4

1

1

0

0

0

0

0

0

6

5, 8

2

2

2

]

1

1

0

0

7

3, 6

2

2

2

2

2

1

1

0

8

0

0

0

0

0

0

0

0

0

 Основные задачи структурного анализа замкнутых ХТС.

При выполнении структурного анализа ЗХТС решаются следующие основные задачи:

1. Нахождение совокупности элементов ХТС, которые могут рассчитываться только совместно, т. е выделение комплексов.

2. Составление предварительной последовательности расчета комплексов и ап­паратов, не входящих в комплексы

3.Определение для каждого комплекса оптимального множества разрываемых дуг (потоков) и превращение каждого комплекса в разомкнутую подсистему.

4 Определение окончательной последовательности расчета ХТС в целом.

Алгоритмы определения комплексов.

Алгоритмы выделения комплексов используют основное свойство вершин графа, принадлежащих комплексу для любых двух вершин I и J, входящих в ком­плекс, должен существовать путь из I-й в J-ю вершину и обратный путь из J-и в I-ю вершину (естественно двигаясь в направлении ориентированных дуг). Для вы­деления комплексов существуют различные матричные алгоритмы [1-3].Некоторые из них связаны с представлением структуры ХТС в виде мат­рицы связи и последующими операциями с этой матрицей с целью выделения на графе ХТС путей различной длины и построения матрицы комплексов.

В основе других алгоритмов лежит использование матрицы путей на графе. Матрица путей является квадратной и содержит столько столбцов, сколько эле­ментов имеется в составе ХТС. Если на графе есть путь любой длины из верши­ны I в вершину J, то на пересечении I-й строки и J-го столбца матрицы путей ставится 1, иначе - 0. На главной диагонали этой матрицы ставятся единицы, так как считается, что путь длиной 0 из любого элемента в этот же самый элемент всегда существует. Матраца путей графа ХТС, представленной на рис. 2 (обозначим эту матрицу буквой Р), имеет вид:

 

 

P=

 

1

1

1

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1

1

0

0

0

0

1

1

1

0

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

0

1

1

 

Наряду с матрицей Р строится вспомогательная матрица S. Она является транспонированной по отношению к матрице Р, т- е. столбцы матрицы S  являют­ся строками матрицы Р:

 

 

S=

 

1

0

0

0

0

0

0

1

1

1

1

0

0

0

1

1

1

1

0

0

0

1

1

1

1

0

0

0

1

1

1

1

1

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

 

Элементы матрицы Р указывают на наличие пути из  I вершины в J-ю вершину, а элементы матрицы S - из J-й вершины в I-ю. Логически пе­ремножая элементы матриц Р и S ( полагая 0 * 0 = 0, 0 * 1 = 0, 1 * 0 = 0, 1 * 1 = 1 ), получим матрицу D  выделения комплексов:

 

 

D=

 

1

0

0

0

0

0

0

0

1

1

1

0

0

0

0

1

1

1

0

0

0

0

1

1

1

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

0

1

1

 

С помощью матрицы D определяются комплексы, входящие в состав графа ХТС, по следующим правилам:

- если в I-ой строке этой матрицы имеется только один не нулевой элемент d(1,1)=1 ( принадлежащий главной диагонали ), то элемент ХТС с номером I  может быть рассчитан отдельно от остальных элементов систе­мы. В рассматриваемом примере это элементы 1 и 5.

- строки матрицы D, имеющие, кроме элемента d (1,1), другие не нулевые элемен­ты, соответствуют комплексам.  Не нулевые элементы строк указывают вершины графа, входящие в состав комплекса.

В нашем примере, согласно матрице D, в состав ХТС входят два комплекса:

комплекс 1 - ( 2, 3, 4 ) и   комплекс 2 - ( 6, 7 ).

Одинаковые строки матрицы соответствуют одному и   тому же комплексу.

Для решения задач структурного анализа ХТС используют различные алгоритмы.

 Остановимся на одном из них.

Рассмотрим три любые вершины графа ХТС: I, J, M. Если существует путь лю­бой длины из вершины I в вершину J и из вершины J в I, то эти вершины при­надлежат одному и тому же комплексу К. Для присоединения вершины  M к ком­плексу необходимо проанализировать, есть ли путь из любой вершины ( например, I принадлежащей комплексу К, в вершину M и  обратный путь из вершины M в любую вершину комплекса К (например, I). Если эти два пути существуют, то вер­шина M принадлежит комплексу К

Применение этого правила к ХТС, изображенной на рис. 3, позволяет выделить следующие комплексы: - комплекс К1- ( 1,2, 3, 8, 9, 10 ),  комплекс К2 - (5,11 ) , элементы 4,6, 7 рассчитываются автономно.

 

Рис. 2.  Граф некоторой замкнутой ХТС

 

Определение предварительной последовательности расчета  ХТС.

После выделения комплексов определяют предварительную последователь­ность расчета ХТС. Совокупность вершин, входящих в комплекс, объединяют в одну новую вершину, в результате чего получается граф, не содержащий контуров ( рис. 3 ).

Рис.3. Определение ППРС.

Такой граф соответствует разомкнутой ХТС. Поэтому определение пред­варительной последовательности расчета замкнутой системы ( ППРС) произ­водится по алгоритмам, применяемым в структурном анализе разомкнутых ХТС.

Для рассмотренной  системы имеем : ППРС - [ 7, ( 1, 2. 3, 8, 9, 10 ), 4, ( 5, 11 ), 6 ]

Алгоритмы выделения контуров

Выделение контуров производится отдельно для каждого комплекса. Один из способов выделения контуров заключается в построении прадерева комплекса. Прадеревом комплекса с корнем К, называют такое изображение всех путей, существующих в комплексе, когда в каждую вершину, отличную от К, входит только одна дуга. В вершину К прадерева ни одна дуга не входит. Построение каждого пути продолжают до тех пор, пока на нем не встретятся повторяющиеся вершины. В этом случае построение соответствующего пути заканчивают, а последнюю вершину называют висячей вершиной прадерева..

Выделение контуров целесообразно проводить в следующей последователь­ности:

Представляют структуру каждого комплекса, например в виде спис­ка связи. В качестве примера приводится список связи комплекса ( 1, 2, 3, 8, 9. 10 ), входящего в состав ХТС, представленной на рис. 3.

I

J

 

I

J

1

2

 

8

1

1

3

 

8

2

2

3

 

9

8

3

9

 

9

10

 

 

 

10

9

 

 Производят построение прадерева комплекса. Для построения прадерева из любой вершины комплекса, которую принимают за корень прадерева, строят все пути, существующие в комплексе. Каждую ветвь сnроят до тех пор, пока на ней не встретится уже имеющаяся ершина (висячая вершина ).

Участки ветвей прадерева между повторяющимися вершинами являются кон­турами, входящими в состав комплекса. Каждой висячей вершине соответству­ет контур.

На рис. 5 показано прадерево комплекса ( 1, 2, 3, 8,9, 10 )( см. выше со­ответствующий список связи).

 

Рис. 4.  Выделение контуров комплекса (1.2.3.8.9.10).

Римскими цифрами отмечены висячие вершины праперева.

 

            Выделенные контуры заносят в таблицу контуров. Ниже приведены кон­туры, входящие в состав рассматриваемого комплекса.

Таблица 1 . Контуры, входящие в состав комплекса (1, 2, 3, 8, 9,10)

 

Висячая вершина

Контур

I,IV

9-10-9

II

1-2-3-9-8-1

V

1-3-9-8-1

III,VI

2-3-9-8-2

Как видно из табл. 1, общее число висячих вершин прадерева больше чис­ла различных контуров, так как различные висячие вершины могут отвечать одному и тому же контуру. В рассматриваемом комплексе висячим вершинам 1 и IV соответствуют одинаковые контуры 9-10-9 и вершинам III и VI одина­ковые контуры 2- 3-9-8-2 и 3- 9- 8- 2- 3.

Для дальнейшей работы из двух или нескольких одинаковых контуров в таб­лице контуров оставляют только один.

То, что одни и те же контуры выделяются иногда несколько раз, является недостатком рассмотренного алгоритма.

 

Алгоритмы определения оптимального множества разрываемых потоков.

С  точки зрения трудоемкости и точности расчетов небезразлично, в ка­ких местах производить разрыв  связей комплекса. Для того чтобы режим в разомкнутой ХТС соответствовал режиму в комплексе, необходимо выполне­ние условия равенства параметров потока после места разрыва соответствую­щим параметрам до места разрыва. Можно показать, что данное условие при­водит к необходимости решения системы нелинейных уравнений, суммарный порядок которой равен сумме параметричностей разрываемых дуг ( параметричносmь или размерность дуги - это число параметров, характеризующих соот­ветствующий технологический поток ).

При выборе мест разрывов в качестве критерия оптимальности может использоваться суммарная параметричность разрываемых дуг, т. е. сумма неиз­вестных параметров потоков в местах разрыва.

Для отыскания оптимально-раэрнвающего множества дуг строится матрица входящих в комплекс контуров, в  которой группируется необходимая инфор­мация для решения рассматриваемой задачи. Элементы матрицы контуров К (I,J) (1- номер контура, J- номер дуги) определяется по следующему правилу:

 

 

 

1,если дуга J входит в контур I

K(I,J)

=

 

 

 

0,если дуга J не входит в контур I

 

 

. Матрица  контуров  комплекса ( !, 2, 3, 8, 9, 10 ) имеет вид:

 

Контуры

Дуги

9-10

10-9

1-2

2-3

3-9

9-8

8-1

8-2

1-3

К1 ( 9- 10- 9 )

1

1

0

0

0

0

0

0

0

К2(1-2-3-9-8-1)

0

0

1

1

1

1

1

0

0

К3( 2-3-9-8-2 )

0

0

0

1

1

1

0

1

0

К4( 1-3-9-8-1

0

0

0

0

1

1

1

0

1

f

1

1

1

2

3

3

2

1

1

p

1

2

8

2

6

5

1

5

2

Определим теперь контурную степень J-й дуги f(J): она равна числу контров, в которые входит данная дуга, т. е. числу единиц, стоящих под дугой J.  Чем больше контурная степень дуги, тем больше будет разомкнуто контуров при ее разрыве. Если f(I)= f(J), причем 1-я и J-я дуги входят в одни и те же контуры, то предпочтительнее разрывать дугу с меньшей параметричностью р. В нашем примере параметричности дуг выбраны условно.

При отыскании оптимального множества разрываемых дуг нужно учиты­вать следующие правила:

1. Количество мест разрывов должно быть выбрано так, чтобы были ра­зорваны все контуры комплекса.

2. Если параметричность всех дуг одинакова, задача сводится к определе­нию минимального числа дуг, разрыв которых превращает комплекс в разо­мкнутую подсистему. В этом случае следует найти дугу, имеющую максималь­ную контурную степень. В нашем примере максимальное значение f имеет ду­га 3-9 или 9-8. Разрыв любой из этих дуг приведет к уменьшению числа контуров в комплексе (у нас контуры К2, КЗ и К4 окажутся разомкнутыми ). Из матрицы контуров вычеркнем эти контуры и вновь пересчитаем контурные степени оставшихся дуг. Вновь разыскиваем среди этих дуг дугу, имеющую максимальную контурную степень, и исключаем соответствующие контуры. Этот процесс продолжают до тех пор, пока не останется контуров,

В нашем примере все контуры могут быть разомкнуты после разрыва двух дуг 3-9 и 9-10 или 9-8 и 10-9, что свидетельствует о том, что решение задачи может быть не единственным.

3. В общем случае, когда параметричность дуг комплекса различна, разры­ваемые дуги выбираются так, чтобы их суммарная параметричность была ми­нимальной. Для определения наиболее выгодных мест разрыва в этом случае необходимо найти всевозможные варианты разрываемых дуг (с учетом правила 1), определить суммарные параметричности различных вариантов и найти среди этих параметричностей минимальную. Множество разрываемых дуг с  минимальной суммарной параметричностью и будет оптимальным.

Для рассматриваемого примера в табл. 2 представлены различные варианты множеств разрываемых дуг.

Таблица 2.  Варианты множеств разрываемых дуг комплекса (1, 2,3,8,9, 10)

 

Номер варианта

Множество разрываемых дуг

Суммарная параметричность

1

1-2,2-3,9-10,1-3

8+2+1+2=13

2

2-3, 9-10, 3-9

2+1+6= 9

3

3-9, 9-10

6-+1=.7

4

2-3., 8-1, 9-10

2+1+1= 4

5

2-3, 8-1, 10-9

2+1+2= 5

6

………….

………….

           

Как видно из таблицы, минимальную суммарную параметричность имеет множество дуг ( 2-3, 8-1, 9-10 ). Именно эти дуги следует разрывать для пре­вращения комплекса в разомкнутую ХТС в рассматриваемом примере.

 

 Определение окончательной последовательности расчета ХТС.

После разрыва дуг, входящих в оптимальное множество разрываемых дуг, каждый комплекс превращается в разомкнутую подсистему , а вся ХТС в целом - в разомкнутую систему. Для каждого разомкнутого комплекса с по­мощью алгоритмов определения вычислительной последовательности разо­мкнутых систем легко определить порядок расчета входящих в него элемен­тов. Так, для комплекса ( 1, 2, 3, 8, 9, 10 ) вычислительная последовательность расчета имеет вид (1,3, 10, 9, 8, 2 ).

Для решения дополнительных уравнений на местах разрыва в про­граммах расчета ХТС используются фиктивные так называемые итерационные блоки. Предполагается, что в этих блоках задаются начальные приближения значении параметров разорванных потоков и сводятся к минимуму рассогла­сования значений параметров разорванных потоков. Способ включения итера­ционного блока (ИБ) в информационную схему расчета ХТС показан на рис.7.

Рис. 5.  Комплекс с дугами разной параметричностм и соответствующая ему

разомкнутая ХТС.

 

Последовательность расчета комплекса ( 1,2,3,8,9, 10) такова: в итерационном блоке 1 ( на ею выходе) задаются начальные приближения для параметров разо­рванных потоков 2-3, 8-1, 9-10.  После этого, по известным математическим опи­саниям элементов в определенной последовательности вычисляются выходные па­раметры аппаратов 1, 3, 10. 9, 8, 2 . В результате расчета на входе итерационного блока получаются последующие приближения для параметров соответствующих разорванных потоков Если разность значении параметров потоков на входе и выходе итерационного блока больше заданной точности, то задается новое при­ближение и поиск решения продолжается. Таким образом, последовательность расчета рассматриваемого комплекса имеет вид :  (ИБ1, 1,3, 10,9,8,2)

Последовательность расчета комплекса ( 5, 11 )  не нуждается в пояснении. Полученные последовательности расчета отдельных комплексов подставляют в предварительную последовательность и получают окончательную последователь­ность расчета Х'ТС. В нашем примере окончательная последовательность расчета ХТС ( рис. 3 ) имеет вид

[ 7,  ( ИБ1,  1,  3,  10, 9, 8,  2 ),  4, (  ИБ2,  5,  11  ), 6 ]

 

Рис. 6. Информационная блок-схема расчета комплекса 1 :

на 1-ом (а) и 2-ом (6) этапах

 

Рассмотрим ещё один алгоритм  определения оптимального множества разрываемых дуг.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.

 

Алгоритм состоит из следующих шагов.  Представляем структуру ХТС в следующем виде (смис. ):

 

 

Вершины

Входные потоки

П

Выходные потоки

П

P1

S1(3)

S3(1)

S4 (4)

8

S2(2)

 

 

2

P2

S6(3)

S7(5)

 

8

S1(3)

S5(1)

 

4

P3

S2(2)

S5(1)

 

3

S8(7)

S9(2)

 

9

P4

S8(7)

 

 

7

S3(1)

S6(3)

S10(2)

6

P5

S9(2)

S10(2)

 

4

S4(4)

S7(5)

 

9

 

В таблице в скобках указана параметричность каждого потока. П- суммарная параметричность входных или выходных потоков.

Алгоритм состоит из следующих шагов:

1.Отыскиваем вершину с минимальной  суммарной параметричностью входных потоков. Из этих вершин отыскиваем вершину с максимальной суммарнрной параметричностью выходных потоков .

2. Разрываем входные потоки, соответствующие данной вершине.

3.Проверяем все ли контуры разорваны.

4.Если да, то алгоритм закончен, если нет ,то алгоритм продолжается с п.1

Для рассматриваемого примера разрыв потоков S2,S5 превращает ХТС в разомкнутую.

 

Итерационные методы для решения  уравнений на местах разрыва.

 

Для решения уравнений на местах разрыва могут быть использованы традиционные методы решения  систем нелинейных алгебраических уравнений. Однако,  при этом должна быть учтена специфика декомпозиционного расчёта.

Как известно ,в результате структурного анализа комплекс превращается в разомкнутую систему (см.рис.):

 

 

 

 

Рис.

 

 

На месте разрыва необходимо решать систему уравнений в неявном виде: 

X=Y(X)  .

 

 

 

 

Рис.

 

Здесь на местах разрыва необходимо решать уравнения:

U=V(U,X)        Y=X(U,X)

 

Для решения этих уравнений в современных программных продуктах используются следующие методы:

·        метод простой итерации

·        метод Вегстейна

·        метод Ньютона-Рафсона

·        метод DEM

и другие.

Все методы основаны на том, что каждое последующее приближение Xk+1    определяется через предыдущее Xk по формуле:

 

Xk+1=  Xk +F*( Y( Xk ) - Xk) ,

где  F=t*I

I-единичная матрица

t-скалярная величина

 

Для метода Ньютона- Рафсона:


Для метода Вегстейна:


Для метода DEM: